میانگین حرکت

با مجموعه داده های معمولی ، میانگین مقدار اغلب اولین و یکی از مفیدترین آمار خلاصه برای محاسبه است. هنگامی که داده ها به شکل یک سری زمانی هستند ، میانگین سری یک اندازه گیری مفید است ، اما ماهیت پویا داده ها را منعکس نمی کند. میانگین مقادیر محاسبه شده در دوره های کوتاه ، یا قبل از دوره فعلی یا متمرکز بر دوره فعلی ، اغلب مفیدتر هستند. از آنجا که چنین مقادیر متوسط متفاوت خواهد بود ، یا حرکت می کند ، زیرا دوره فعلی از زمان t = 2 ، t = 3 ، حرکت می کند. و غیره آنها به عنوان میانگین متحرک (MAS) شناخته می شوند. میانگین متحرک ساده (به طور معمول) میانگین ناآگاهانه مقادیر قبلی K است. یک میانگین متحرک با وزنی با وزنی اساساً همانند یک میانگین متحرک ساده است ، اما با کمک به میانگین وزنی که در نزدیکی آنها به زمان فعلی است. از آنجا که یک مورد وجود ندارد ، اما یک سری کامل از میانگین های متحرک برای هر سری معین ، مجموعه ای از MAS خود را می توان در نمودارها ترسیم کرد ، به عنوان یک سری مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفت و در مدل سازی و پیش بینی استفاده شد. طیف وسیعی از مدل ها را می توان با استفاده از میانگین های متحرک ساخته شد و اینها به عنوان مدل های MA شناخته می شوند. اگر چنین مدلهایی با مدل های اتورگرایی (AR) ترکیب شوند ، مدل های کامپوزیت حاصل به عنوان مدل های ARMA یا ARIMA شناخته می شوند (I برای یکپارچه است).

میانگین حرکت ساده

از آنجا که یک سری زمانی را می توان به عنوان مجموعه ای از مقادیر در نظر گرفت ،< x t >، t = 1،2،3،4 ،… n میانگین این مقادیر را می توان محاسبه کرد. اگر فرض کنیم که N بسیار بزرگ است ، و یک عدد صحیح k را انتخاب می کنیم که بسیار کوچکتر از N است ، می توانیم مجموعه ای از میانگین بلوک یا میانگین حرکت ساده (از سفارش k) را محاسبه کنیم:

Each measure represents the average of the data values over an interval of k observations. Note that the first possible MA of order k >0 این برای t = k است. به طور کلی می توانیم اشتراک اضافی را در عبارات بالا رها کنیم و بنویسیم:

این بیان می کند که میانگین تخمین زده شده در زمان T میانگین ساده مقدار مشاهده شده در زمان t و مراحل زمانی K-1 قبلی است. اگر وزنهایی اعمال شود که از سهم مشاهداتی که به مرور زمان دورتر هستند ، کاهش می یابد ، گفته می شود که میانگین متحرک به صورت تصاعدی صاف می شود. میانگین های متحرک اغلب به عنوان نوعی پیش بینی استفاده می شوند ، که به موجب آن مقدار تخمین زده شده برای یک سری در زمان T +1 ، S T +1 ، به عنوان MA برای دوره تا زمان و شامل زمان t گرفته می شود ، به عنوان مثال. برآورد امروز بر اساس میانگین مقادیر ضبط شده قبلی تا و از جمله دیروز (برای داده های روزانه) است.

میانگین های حرکت ساده را می توان به عنوان نوعی هموار سازی مشاهده کرد. در مثال نشان داده شده در زیر ، مجموعه داده های آلودگی هوا نشان داده شده در مقدمه این موضوع توسط یک خط میانگین حرکت 7 روزه (MA) افزایش یافته است ، که در اینجا به رنگ قرمز (خط تیره/ضخیم تر) نشان داده شده است. همانطور که مشاهده می شود ، خط MA قله ها و فرورفتگی ها را در داده ها صاف می کند و می تواند در شناسایی روند بسیار مفید باشد. فرمول استاندارد محاسبه رو به جلو به این معنی است که اولین نقاط داده K-1 هیچ مقدار MA ندارند ، اما پس از آن محاسبات به نقطه داده نهایی در سری گسترش می یابد. میانگین های حرکت از این نوع به طور گسترده ای در طول گزارش میزان عفونت ، بستری شدن و آمار مرگ همراه در طول بیماری همه گیر COVID19 مورد استفاده قرار گرفت.

مقادیر میانگین روزانه PM10 ، گرینویچ

منبع: شبکه کیفیت هوایی لندن ، www.londonair.org. uk

یکی از دلایل محاسبه میانگین های متحرک ساده به روشی که شرح داده شده این است که مقادیر را برای همه شکافهای زمان از زمان t = k تا به امروز محاسبه می کند و به عنوان یک اندازه گیری جدید برای زمان t 1 ، ma برای زمان بدست می آید. T 1+ را می توان به مجموعه ای که قبلاً محاسبه شده اضافه کرد. این یک روش ساده برای مجموعه داده های پویا ارائه می دهد. با این حال ، برخی از مسائل با این رویکرد وجود دارد. منطقی است که استدلال کنیم که میانگین ارزش در 3 دوره گذشته ، مثلاً ، باید در زمان t-1 قرار داشته باشد ، نه زمان t ، و برای یک کارشناسی ارشد در طی تعداد یکنواختی از دوره ها شاید باید در اواسط نقطه قرار بگیردبین دو بازه زمانی. یک راه حل برای این مسئله استفاده از محاسبات MA متمرکز است که در آن MA در زمان t میانگین مجموعه ای از مقادیر متقارن در اطراف t است. علیرغم شایستگی های آشکار آن ، این رویکرد به طور کلی مورد استفاده قرار نمی گیرد زیرا نیاز دارد که داده ها برای رویدادهای آینده در دسترس باشد ، که ممکن است اینگونه نباشد. در مواردی که تجزیه و تحلیل کاملاً از یک سری موجود است ، ممکن است استفاده از MAS متمرکز ارجح باشد.

میانگین های متحرک ساده می توانند به عنوان نوعی هموار سازی در نظر گرفته شوند و برخی از اجزای فرکانس بالا یک سری زمانی را از بین ببرند و روندهای برجسته (اما حذف) را به روشی مشابه با مفهوم کلی فیلتر دیجیتال در نظر بگیرند. در واقع ، میانگین حرکت نوعی فیلتر خطی است. می توان یک محاسبات متوسط متحرک را برای یک سری که قبلاً هموار شده است ، یعنی صاف کردن یا فیلتر کردن یک سری از قبل صاف استفاده کنید. به عنوان مثال ، با میانگین حرکت سفارش 2 ، می توانیم آن را با استفاده از وزنه ها محاسبه کنیم ، بنابراین MA در x 2 = 0. 5 x 1 +0. 5 x 2. به همین ترتیب ، MA در x 3 = 0. 5 x 2 +0. 5 x 3. اگر سطح دوم هموار سازی یا فیلتر کردن را اعمال کنیم ، 0. 5 x 2 +0. 5 x 3 = 0. 5 (0. 5 1 1 +0. 5 x 2) +0. 5 (0. 5 x 2 +0. 5 x 3) = 0. 25 x 1 +0. 5 x 2 داریم.+0. 25 x 3 یعنی فرآیند فیلتر 2 مرحله ای (یا نتیجه) میانگین متحرک متقارن با وزن متغیر ، با وزنه ها تولید کرده است. پیچش های متعدد می توانند میانگین های متحرک با وزنه برداری کاملاً پیچیده را تولید کنند که برخی از آنها در زمینه های تخصصی ، مانند محاسبات بیمه عمر ، مورد استفاده خاصی قرار گرفته است.

در صورت محاسبه با طول تناوب به عنوان یک شناخته شده ، می توان از میانگین های حرکت استفاده کرد تا اثرات دوره ای را از بین ببرد. به عنوان مثال ، با استفاده از میانگین حرکت 12 ماهه متقارن با تمام ماهها به طور مساوی ، به جز اولین و آخرین وزن که 1/2 وزن دارد ، تغییرات فصلی ماهانه را می توان حذف کرد (اگر این هدف باشد). این امر به این دلیل است که 13 ماه در مدل متقارن (زمان فعلی ، T ، +/- 6 ماه) وجود خواهد داشت. کل توسط 12 تقسیم می شود. رویه های مشابه می توانند برای هر تناوبی به خوبی تعریف شده اتخاذ شوند.

میانگین های متحرک با وزنه برداری (EWMA)

با فرمول متوسط حرکت ساده:

تمام مشاهدات به همان اندازه وزن دارند. اگر ما این وزن های برابر را نامیدیم ، α T ، هر یک از وزن K برابر با 1/ k می شود ، بنابراین مجموع وزنه ها 1 خواهد بود و فرمول خواهد بود:

ما قبلاً دیده ایم که چندین کاربرد این فرآیند منجر به تغییر وزن می شود. با میانگین های متحرک با وزنه برداری ، سهم در میانگین مقدار از مشاهداتی که به مرور زمان برداشته می شوند ، کاهش می یابد ، در نتیجه بر وقایع اخیر (محلی) تأکید می شود. اساساً یک پارامتر هموار سازی ، 0< α

یک نسخه متقارن از این فرمول از فرم خواهد بود:

اگر وزنهای موجود در مدل متقارن به عنوان شرایط شرایط گسترش دوتایی انتخاب شوند:

آنها به 1 جمع می شوند و هرچه Q بزرگ می شود ، توزیع عادی را تقریبی می کند. این نوعی از وزن هسته است که دوتایی به عنوان عملکرد هسته عمل می کند. دو مرحله مرحله که در زیر بخش قبلی شرح داده شده دقیقاً این ترتیب است ، با q = 1 ، وزنه ها را به همراه دارد.

در هموار سازی نمایی لازم است از مجموعه ای از وزنه ها استفاده شود که به 1 جمع می شود و از نظر هندسی در اندازه کاهش می یابد. وزنهای مورد استفاده به طور معمول از فرم هستند:

برای نشان دادن اینکه این وزن ها به 1 می رسد ، گسترش 1/ α را به عنوان یک سری در نظر بگیرید. ما میتوانیم بنویسیم

و بیان را در براکت ها با استفاده از فرمول دوتایی (1- x) p ، که در آن x = (1- α) و p = -1 است ، گسترش دهید ، که می دهد:

سپس نوعی میانگین متحرک وزنی فرم را فراهم می کند:

این جمع بندی را می توان به عنوان یک رابطه عود نوشت:

که محاسبات را تا حد زیادی ساده می کند و از این مشکل جلوگیری می کند که رژیم وزنی باید به شدت نامتناهی باشد تا وزن ها به 1 جمع شوند (برای مقادیر کوچک α ، این به طور معمول اینگونه نیست). نماد مورد استفاده نویسندگان مختلف متفاوت است. برخی از آنها از نامه ها استفاده می کنند تا نشان دهند که فرمول در اصل یک متغیر صاف است و می نویسد:

در حالی که ادبیات تئوری کنترل اغلب از Z به جای S برای مقادیر وزنی یا صافی استفاده می کند (به عنوان مثال ، لوکاس و ساکوچی ، 1990 ، [LUC1] و وب سایت NIST برای اطلاعات بیشتر و نمونه های کار شده مراجعه کنید). فرمول های ذکر شده در بالا ناشی از کار رابرتز (1959 ، [Rob1]) است ، اما هانتر (1986 ، [HUN1]) از بیان فرم استفاده می کند:

که ممکن است برای استفاده در برخی از روشهای کنترل مناسب تر باشد. با α = 1 ، میانگین تخمین به سادگی مقدار اندازه گیری شده آن (یا مقدار مورد داده قبلی) است. با α = 0. 5 تخمین میانگین حرکت ساده اندازه گیری های جریان و قبلی است. در مدل های پیش بینی مقدار ، S T ، اغلب به عنوان تخمین یا مقدار پیش بینی برای دوره زمانی بعدی استفاده می شود ، یعنی به عنوان تخمین برای x در زمان t 1. بنابراین ما داریم:

این نشان می دهد که مقدار پیش بینی در زمان t +1 ترکیبی از میانگین متحرک وزن قبلی به همراه یک مؤلفه است که نشان دهنده خطای پیش بینی وزنی ، ε ، در زمان t است.

با فرض اینکه یک سری زمانی داده شود و پیش بینی لازم باشد ، مقدار α لازم است. این را می توان از داده های موجود با ارزیابی مجموع خطاهای پیش بینی مربع به دست آمده با مقادیر مختلف α برای هر t = 2،3 تخمین زد. تعیین اولین برآورد به عنوان اولین مقدار داده مشاهده شده ، x 1. در برنامه های کنترل ، مقدار α از اهمیت بالایی برخوردار است که در تعیین محدودیت های کنترل بالا و پایین استفاده می شود و بر میانگین طول اجرا (ARL) که پیش از این محدودیت های کنترل پیش بینی می شود ، تأثیر می گذارد (با این فرض که سری زمانی نشان می دهدمجموعه ای از متغیرهای مستقل تصادفی ، یکسان توزیع شده با واریانس مشترک). در این شرایط ، واریانس آمار کنترل:

(لوکاس و ساکوچی ، 1990):

محدودیت های کنترل معمولاً به عنوان چند برابر ثابت از این واریانس بدون علامت ، به عنوان مثال تنظیم می شوند.+/- 3 برابر انحراف استاندارد. به عنوان مثال ، اگر α = 0. 25 ، و داده های مورد نظر فرض می شود که توزیع عادی دارند ، N (0،1) ، هنگامی که "در کنترل" ، محدودیت های کنترل +/- 1. 134 و روند به یک یا یا بهحد دیگر در 500 مرحله به طور متوسط. لوکاس و ساکوچی (1990 [LUC1]) ARL ها را برای طیف گسترده ای از مقادیر α و تحت فرضیات مختلف با استفاده از روشهای زنجیره مارکوف به دست می آورند. آنها نتایج را جدول بندی می کنند ، از جمله ارائه ARL ها هنگامی که میانگین فرآیند کنترل توسط برخی از چندین انحراف استاندارد تغییر یافته است. به عنوان مثال ، با تغییر 0. 5 با α = 0. 25 ARL کمتر از 50 مرحله زمان است.

رویکردهای توضیح داده شده در بالا به عنوان هموار سازی تک نمایی شناخته می شوند ، زیرا رویه ها یک بار در سری زمانی اعمال می شوند و سپس تجزیه و تحلیل یا فرآیندهای کنترل بر روی مجموعه داده های صاف انجام می شود. اگر مجموعه داده شامل یک روند و/یا اجزای فصلی باشد ، می توان هموار سازی نمایی دو یا سه مرحله ای را به عنوان ابزاری برای از بین بردن (مدل سازی صریح) این اثرات اعمال کرد (بیشتر ، بخش پیش بینی ، در زیر و مثال NIST را ببینید.).

[Cha1] Chatfield C (1975) تجزیه و تحلیل سری Times: تئوری و عمل. چاپمن و هال ، لندن

[HUN1] Hunter J S (1986) میانگین متحرک با وزنی نمایی. j از فناوری کیفیت ، 18 ، 203-20

[LUC1] LUCAS J M ، SACCUCCI M S (1990) طرح های کنترل متوسط متحرک با وزنه برداری: خواص و پیشرفت ها. تکنومتریک ، 32 (1) ، 1-12

[Rob1] Roberts S W (1959) تست های نمودار کنترل بر اساس میانگین حرکت هندسی. تکنومتریک ، 1 ، 239-250